2015——2016年南昌市高三数学二模(文科)试卷答案

NCS20160607 项目第二次模拟测试卷 数学(文科)参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 C 5 D 6 A 7 B 8 A 9 D 10 A 11 B 12 B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 3 ;14. ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 8 ;15. 40 ;16. 20? 三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分. 17.解: (Ⅰ)当点 P 在三角形 ABC 外,且 CP ? AB 时, ?BCP ? 又 CP ? 1, BC ? AB ? cos 所以 ? 6 ? 3 ,所以 | BP |2 ? 1 ? 9 ? 2 ?1? 3cos 2? ? 13 ,………4 分 3 2? , 3 1 13 39 ? ? sin ?BCP ? ;……………………………………6 分 sin ?BCP sin 2? 26 3 ( Ⅱ ) 以 点 C 为 原 点 , 过 点 C 且 平 行 于 AB 的 直 线 为 x 轴 , 建 立 直 角 坐 标 系 , 则 3 3 3 3 3 A(? , ? ), B( , ? ) ,设 P(cos ? ,sin ? ) ,则 2 2 2 2 ??? ? ??? ? 3 3 3 3 3 PA ? PB ? (cos ? ? ,sin ? ? ) ? (cos ? ? ,sin ? ? ) 2 2 2 2 9 9 ? cos 2 ? ? 3 cos ? ? ? sin 2 ? ? 3sin ? ? ? 3sin ? ? 3 cos ? ? 1 4 4 ? ? 2 3 sin(? ? ) ? 1 ,……………………………………………………………………10 分 6 ??? ? ??? ? 所以 PA ? PB 的取值范围是 [?2 3 ? 1, 2 3 ? 1] .……………………………………12 分 18.解: (Ⅰ)因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况,每种情况都是等可能出现的,其 中有且只有 2 组数据是相邻 2 天数据的情况有 6 种, 所以 P ? 6 3 ? ;………………………………………………………………………6 分 10 5 (Ⅱ)由数据,求得 x ? 12, y ? 27 . 5 由公式,求得 b ? , a ? y ? bx ? ?3 . 2 5 ? ? x ? 3 . ……………………………………9 分 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y 2 5 ? ? ?10 ? 3 ? 22 ,|22-23| ? 1 ; 当 x=10 时, y 2 5 ? ? ? 8 ? 3 ? 17 ,|17-15| ? 1 . 同样,当 x=8 时, y 2 所以,该研究所得到的线性回归方程是不可靠的. ………………………………12 分 — 高三数学(文科)(模拟二)答案第 1 页 —

19. (Ⅰ)证明: AB12 ? AB2 ? BB12 ? 2 AB ? BB1 cos60? ? 3 ,所以 AB12 ? AB2 ? BB12 , ABCD , 所以 B1 A ? AB ,又因为侧面 AA 1B 1 B ? 底面 所以 B1 A ? 底面 ABCD ,所以 B1 A ? BD ,……………………………………3 分 又因为 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD ,所以 BD ? 平面 AB1C , 所以平面 AB1C ? 平面 BDC1 ;……………………………………………………6 分 (Ⅱ)因为 C1D / / B1 A ,所以 C1D / / 平面 AB1C ,……………………………8 分 1 1 3 .…………………………12 分 ? ? 3? 3 2 6 20.解: (1)设点 A( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 B(? x1 , ? y1 ) , 所以 VC1 ? AB1C ? VD? AB1C ? VB1 ? ACD ? 则 x12 y12 x2 2 y2 2 ? ? 1, ? ? 1, a 2 b2 a 2 b2 因为 AD ? AB ,所以 k AD ? ? 1 y ?y 1 y ? y1 1 ,因此 ? ? 2 , k ? 2 1 ,………2 分 k k x2 ? x1 4 x2 ? x1 b2 ? 2 ( x2 2 ? x12 ) 1 y2 2 ? y12 b2 1 a ? ? ? ,………………………………4 分 所以 ? ? 2 4 x2 ? x12 x2 2 ? x12 a2 4 又 a ? b ? 3, 2 2 解得 a2 ? 4, b2 ? 1 ,所以椭圆 C 的方程为 (2)因为 k ? x2 ? y 2 ? 1.……………………………6 分 4 y1 y ,所以 l2 : y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) , x1 4 x1 3 令 y ? 0 得 xM ? 3x1 ,令 x ? 0 得 y N ? ? y1 ,……………………………………9 分 4 1 9 所以 S△OMN ? | OM | ? | ON |? | x1 y1 | , 2 8 2 x 2 因为 1 ? 1 ? y1 ?| x1 y1 | ,且当 | x1 |? 2 | y1 | 时,取等号, 4 9 所以△OMN 面积的最大值是 .…………………………………………………12 分 8 x 21.解: (Ⅰ) f '( x) ? e ? 2ax ? b ,所以 f '(0) ? 1 ? b , 1 ? (?1) ? 2 ? b ? 1;…………………………………5 分 又 f (0) ? 1 ,所以 1 ? b ? 0 ? (?1) x (Ⅱ) 记 g ( x) ? f '( x) ? e ? 2ax ? 1, 曲线 y ? f ( x) 所有切线的斜率都不小于 2 等价于 g ( x) ? 2 对任意的 x ? R 恒成立,…………………………………………………7 分 g '( x) ? ex ? 2a , 当 a ? 0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,所以当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 2 ,……9 分 g '( x) ? 0 ? x ? ln( ?2 a) , ( l 2? ) a 时, g '( x) ? 0 , x ? ln(?2a) 时, g '( x) ? 0 , 当 a ? 0 时, 且 x ?n — 高三数学(文科)(模拟二)答案第 2 页 —

所以函数 g ( x) 的极小值点为 ln(?2a) ,又 g (0) ? 2 ,所以 ln(?2a) ? 0 , 所以 a ? ? 1 . 2 1 2 综上,实数 a 的取值集合是 {? } .……………………………………12 分 请考生在 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 解: (Ⅰ)设圆 B 交线段 AB 于点 C , 因为 AB 为圆 O 一条直径,所以 BF ? FH ,………………………2 分 又 DH ^ BD , 故 B 、 D 、 F 、 H 四点在以 BH 为直径的圆上 所以, B 、 D 、 F 、 H 四点共圆.……………3 分 所以 AB ? AD ? AF ? AH .……………………4 分 (Ⅱ)因为 AH 与圆 B 相切于点 F ,由切割线定理得 AC ? AB ? BD ? 2 , AF 2 ? AC ? AD ,即 2 2 ? ? 2 ? 2 ? AD , AD =4 ,………………………………6 分 1 所以 BD = ? AD ? AC ? ? 1,BF ? BD ? 1 2 又 ?AFB ? ?ADH , DH AD ? 则 , 得 DH ? 2 ………………………………8 分 BF AF 连接 BH ,由(1)可知 BH 为 D BDF 的外接圆直径 3 ……………10 分 2 2 23.解:(Ⅰ)由 ? ? 2sin ? ? 2cos ? ,可得 ? ? 2? sin ? ? 2? cos? 2 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 2 x ,…………………………4 分 BH ? BD2 ? DH 2 ? 3 ,故 D BDF 的外接圆半径为 ? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 , (Ⅱ)直线 l 的方程为 : ? ?y ? 2 t ? ? 2 化成普通方程为 y ? x ? 2 ……………………………………………………………7 分 ?y ? x ? 2 所以 AB ? 2 2 .………………………………………………………………………10 分 24.解: (Ⅰ)当 a = 1 时,不等式 f ( x) 3 2 可化为 | x + 1| + | 2 x - 1|? 2 1 2 2 ①当 x ? 时,不等式为 3 x 3 2 ,解得 x ? ,故 x ? ; 2 3 3 1 ②当 ?1 ? x ? 时,不等式为 2 - x ? 2 ,解得 x ? 0 ,故 ?1 ? x ? 0 ; 2 — 高三数学(文科)(模拟二)答案第 3 页 — 由? ? x2 ? y2 ? 2 y ? 2x ,解得 ? ? x ? 0 ? x ? ?2 或? …………………………………9 分 ?y ? 2 ?y ? 0

③当 x ? ?1 时,不等式为 - 3 x ? 2 ,解得 x ? ? 综上原不等式的解集为 ? x x ? 0, 或x ? 2 ,故 x ? ?1 ;……………4 分 3 ? ? 2? ? ………………………………………5 分 3? (Ⅱ) f ( x) £ 2 x 在 x ? [ ,1] 时恒成立, 当 x ? [ ,1] 时,不等式可化为 | ax ? 1|? 1 ,………………………………………7 分 1 2 1 2 2 ? a ? 0, x 1 2 因为 x ? [ ,1] ,所以 ? ? [?4, ?2] ,……………………………………………9 分 2 x 所以 a 的取值范围是 [?2, 0] .………………………………………………………10 分 解得 ?2 ? ax ? 0 ? ? — 高三数学(文科)(模拟二)答案第 4 页 —

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